✎☛ Utiliser la colinéarité de deux vecteurs

Méthode

Soit une base \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  de l'espace. Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\)  et \(\overrightarrow{v}\)  sont colinéaires lorsqu'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\)  ou \(\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}\)  c'est-à-dire lorsque les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{u}\)  et \(\overrightarrow{v}\) so nt proportionnelles.

Énoncé

On se place dans un repère  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) de l'espace. Soit  \(\mathrm{A(-1~;~3~;-2)}\)  et  \(\mathrm{B(2~;~0~;~2)}\) deux points. Déterminer les coordonnées  \(y\)  et  \(z\)  du point  \(\text C(-7~;~y~;~z)\)  telles que les points  \(\text A\) ,  \(\text B\)  et  \(\text C\)  sont alignés.

Solution

Les points  \(\text A\) ,  \(\text B\)  et  \(\text C\)  sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\) sont colinéaires c'est-à-dire s'il existe un réel \(k\) tel que  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}=k\mathrm{\overrightarrow{AC}}\)  car \(\text A\neq \text C\) .
On cherche donc, ici, à déterminer les réels  \(y\)  et  \(z\) tels que \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}=k\mathrm{\overrightarrow{AC}}\) .
Soit \(k\) un réel.
On a : \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\begin{pmatrix} 3\\-3\\ 4\\\end{pmatrix}\) et  \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\begin{pmatrix} -6\\y-3\\ z+2\\\end{pmatrix}\) .
L'expression  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}=k\mathrm{\overrightarrow{AC}}\)   équivaut à  \(\begin{cases} 3=-6k\\ -3=k(y-3) \\ 4=k(z+2) \end{cases}\) .
Par la première équation, on trouve  \(k=-\dfrac12\) .
Puis, en remplaçant \(k\) dans le deux équations restantes, on obtient : 
\(\begin{cases} -3=-\dfrac12(y-3) \\ 4=-\dfrac12(z+2)\end{cases}\)  puis  \(\begin{cases}6=y-3 \\ -8=z+2\end{cases}\)  et enfin  \(\begin{cases}9=y \\ -10=z\end{cases}\) .

On vérifie que le triplet est bien solution du système.
Conclusion :  \(\mathrm{C}(-7~;~9~;-10)\) .