✎☛ Utiliser la colinéarité de deux vecteurs

Méthode

Soit une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$  de l'espace. Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$  et $\overrightarrow{v}$  sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$  ou $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$  c'est-à-dire lorsque les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{u}$  et $\overrightarrow{v}$ so nt proportionnelles.

Énoncé

On se place dans un repère  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l'espace. Soit  $\mathrm{A}(-1;3;-2)$  et  $\mathrm{B}(2;0;2)$ deux points. Déterminer les coordonnées  $y$  et  $z$  du point  $\text{C}(-7;y;z)$  telles que les points  $\text{A}$ ,  $\text{B}$  et  $\text{C}$  sont alignés.

Solution

Les points  $\text{A}$ ,  $\text{B}$  et  $\text{C}$  sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=k\overrightarrow{\mathrm{AC}}$  car $\text{A}\ne \text{C}$ .
On cherche donc, ici, à déterminer les réels  $y$  et  $z$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=k\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ .
Soit $k$ un réel.
On a : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ 4\end{array}\right)$ et  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{c}-6\\ y-3\\ z+2\end{array}\right)$ .
L'expression  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=k\overrightarrow{\mathrm{AC}}$   équivaut à  $\{\begin{array}{l}3=-6k\\ -3=k(y-3)\\ 4=k(z+2)\end{array}$ .
Par la première équation, on trouve  $k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ .
Puis, en remplaçant $k$ dans le deux équations restantes, on obtient : 
$\{\begin{array}{l}-3=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(y-3)\\ 4=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(z+2)\end{array}$  puis  $\{\begin{array}{l}6=y-3\\ -8=z+2\end{array}$  et enfin  $\{\begin{array}{l}9=y\\ -10=z\end{array}$ .

On vérifie que le triplet est bien solution du système.
Conclusion :  $\mathrm{C}(-7;9;-10)$ .